文芸情報

Entries

最近知ったこと

最近知ったこと
マイナス×マイナスがプラスになることの説明について
はじめに
　正の数・負の数は中学1年で学ぶことがらで、教科書や参考書にいろんな説明が書かれています。
数学では「数」について、数論の中で厳密に取り扱われますが、「マイナス×プラスはマイナス」や「マイナス×マイナスはプラス」ということは計算としては機械的に出来ても、その理由を改めて聞かれると、普通の大人でも即答できないと思われます。なぜならば、ほとんどの大人にとっては、既知の事柄として自在に使ってしまっていることであり、実用上はそれで何の不便も感じないし、あまり良い例ではないのですが、「右の左の右は、右である」「反対側のそのまた反対側は元に戻る」などのように言葉の上で「マイナス×マイナスはプラス」が漠然と了解されている場合があると思われます。実際は、そのようにしてさまざまな知識が獲得されることはいくらでもあります。はじめは分かったような分からないような理解であった事柄が、時とともに生活体験の中で次第に真実味をもって理解されていき、ついには常識の中に組み込まれていくことは思想や文学の世界では頻繁にあります。昔から言われる（なるほど、そうだったのか）理解＜理解＞などは代表的なものです。でも、そのような理解は理解の構造のなかに放電のような飛躍があって初めて成り立っている理解であり、数学のような筋道だった説明により論理的に理解されていく過程とは異なります。いわゆる合理的な理解や科学的な理解とは異なります。ただ、合理的な説明をしすぎると、生徒の理解度の容量を超えたものになり、時間をかけた割にはかえってすっきりしないものが残る結果となります。それならば、正確さを多少犠牲にしても直観的に理解できる良い説明があれば、数学の初等教育の方法としては勘弁してもらえる場合もあるかと思います。つまり、指導する生徒の実態に照らして現場的には許容されるのであれば、教師側から見て物足りない説明であってもそれ以上厳密にすることは必要ないかもしれません。「マイナスかけるマイナスはプラス」の説明というものは、実はこのような境遇に置かれた内容であるともいえます。
　現行の中学の教科書で説明として主として取り上げられている方法は、乗り物の速度と位置の関係を用いて説明する方法が主流ですが、そのほかにも、気温のプラス・マイナスを利用したり、水がめへの水の注入量と水量基準線を利用したり、お金の貸し借りを利用したりする説明方法があります。
　どの説明が良いのかということは、対象生徒によって変わって来ると思いますが、導入法の実験授業の結果を比較して、説明する方法が各教科書で採用されているのではないかと思われます。
　次に、中学校の低学年の段階では、その段階に適した理解のさせ方があります。理解のレベルにもいろいろあり、①子供だまし的な説明を納得するレベル、②具体的な数値などを順次並べていって結果を推測または帰納・敷衍するレベル、③既習事項の分配法則を用いて結果を導くレベルなど学年が上がるにしたがって理解される方法が選ばれていくことが自然です。このようなことを考えていくと、「マイナスかけるマイナスはプラス」の説明として、教科書の方法以外にも採用してみたい方法として、九九表の拡張により納得させる方法や、かつて遠山啓さんが提唱した水道方式の基本教具でであるタイルを用いた方法があります。直観的な説明方法としては面白いものであると思われます。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＜逆算の考え方と分配法則を用いる方法＞
　小学校で学習する逆算の方法を利用すると、を計算するには、
　　　 □とおいて　□
　　　　ここで、左辺を変形すると、　左辺＝□ □＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　右辺＝
　　　　したがって、左辺と右辺を比べると、□＋＝０
　　　　よって、　□＝　となる。
　　　　　これより、　であることが説明できる。
　　　この段階を簡略化するために、計算方法としては、機械的に符号を変えて、
　　　　　　　　　　　
　　　と約束すればよいことになる。あくまでも、納得の上での約束でないといけない。
　　この約束と、（正の数）×（負の数）＝(負の数)であることと、分配法則を用いると、　の
　　計算は次のように導くことができる。
　　　
　　　この方法は、計算についての既習事項を用いて筋道だった筋書きのもとに理解させることが
　　できるので、本来はこのような説明を生徒には理解して欲しいのですが、この筋道を生徒全員
　　が追いかけることが出来るかどうかは、現場的な判断が必要とされる。
＜推定させる方法＞
普段われわれがものを数えるのに用いる、１，２，３・・・という数（正の整数）は、（自然数）と呼ばれ、
ものの数を数えることで四則計算を理解できた。
一方、－１，－２，－３・・・という数（負の整数）は、０より小さい数として、約束した数である。したがって、
自然数での計算の規則性が生かされるように、負の数の四則計算を約束しなければならない。
準備　負の数を足すこと・負の数を引くこと
　　

1減る

1減る

1減る

1減る
同様に続く
　このことから､負の数を足すことを次のようにを推定させることができる。
・-1を足すことは、（1を引く）ことと同じである。
・-2を足すことは、（2を引く）ことと同じである。
一般に、ある負の数を足すことは、その数の（絶対値）を引くことと同じであることを推定させる。
このことから､負の数を引くことを推定させることができる。
・-1を引くことは、（1加える）ことと同じである。
・-2を引くことは、（2加える）ことと同じである。
・一般に、ある負の数を引くことは、その数の（絶対値）を加える
ことと同じである。
が９になることの推定が容易である。ここで、の部分をと見れば、
（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）であることが分かるが、本来、操作としての（－）と数としての（－）は
概念が異なるものであり、をもってすべての負の数に対して（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）が成り立つことはいえない。ただ、

負の数をかけること

このことから、正の数に負の数を掛けると（負負）の数になり、積（掛けた答え）の絶対値は、二つの数の絶対値の積になり、負の数に負の数を掛けると（正正）の数になり、積の絶対値は、二つの数の絶対値の積になることを推定させることが出来る。
＜分配法則と０の約束の利用＞
　　　　Ａ×（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ×Ｂ＋Ａ×Ｃ（分配法則）
　　　　Ａ×０＝０　　　　（－１）＋（＋１）＝０
分配法則の使用例
Ａ＝２　Ｂ＝４　Ｃ＝３とすると
Ａ×（Ｂ＋Ｃ）＝２×（４＋３）＝１４
Ａ×Ｂ＋Ａ×Ｃ＝２×４＋２×３＝１４
これを使って証明すると
　　　０＝（－１）×０
　　　　＝（－１）×｛（－１）＋（＋1）｝
　　　　＝（－１）×（－１）＋（－１）×（＋１）
　　　　＝（－１）×（－１）＋（－１）
　　　　＝（－１）×（－１）－１
よって（－１）×（-1）＝＋１　ということが証明できる

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＜水道方式：タイルによる説明＞
加減という操作（演算）と乗除という操作（演算）はその構造がことなるので、水道方式による加法・減法のタイルによる演算表示を示してから、本題の「マイナス×マイナス＝プラス」のタイルによる説明にはいることにする。
　①　タイルによる方法の基本
用意するもの　白いタイル　　1枚の白いタイル1枚を、正の数：プラス１とする）　　□＝＋１
　　　　　　　黒いタイル　　1枚の黒いタイル1枚を、負の数：マイナス１とする）　■＝－１
　　正の数　＋　正の数　は白いタイルを横または縦に連結したものとして並べる。
　　　　例　　２＋３＝５　　タイルの表現　　□□　＋　□□□　＝　□□□□□
　　負の数　＋　負の数　は黒いタイルを横または縦に連結したものとして並べる。
　　　　例　　－２＋（－３＝（－５）　　タイルの表現　　■■　＋　■■■　＝　■■■■■
正の数　＋　負の数　は白いタイルと黒いタイルを縦に対置したものとして並べる。結果の表現は白黒のタイルの差となる。
　　　　例　　５－３＝５＋（－３）＝２　　タイルの表現

０のタイル表現　　白と黒のタイルを同数だけ縦に対置する。タイルの個数は白黒同色で何個でも
よい。
　　　　例　　３－３＝０　　　　　　　　　　　　　　５－５＝０
　
　正負の数の減法　　上記のようなタイル表現の約束から、減法は、引く数を引かれる数から取り去る形でタイル
　　　　　　　　　　　表現を行うことにする。
　　　　例　　０－（＋４）＝０＋（－４）　　
　　　

　　　　例　　０－（－４）＝０＋（＋４）　
　　
　この例からも、「マイナス×マイナス＝プラス」の一端が説明されるのですが、加法・減法と乗法・除法の演算の構造は異なっているので、乗法における「マイナス×マイナス＝プラス」は次の②でまとめます。
　　②　乗法における「マイナス×マイナス＝プラス」
　　　乗法をどのように定義するかについてはいろいろ考えられるが、内包量（１あたり）×外延量（いくら分）で定義することは一般的であろう。例えば、等速直線運動における（速さ）×（時間）で（距離）を定義するような例である。この場合、時速４ｋで3時間歩く結果は、４ｋの3回の「累加」という操作としてのタイルで表現ができる。数値の掛け算についてもタイルでの表現は同様に出来る。また、「（負の数）を掛ける」ことは、「累加」に対して「累減」という操作としてタイルでの表現が出来る。
（正の数）と（負の数）の整数倍のタイル表現
　　　（ある数）×（正の数）は、累加の要素となる。　
　　　（ある数）×（負の数）は、累減の要素となる。
　　例　（＋３）×（＋４）　　　　　　　　　　　　例　（－３）×（＋４）
　　　タイル表現　（３の4回累加）　　　　　　　　タイル表現（－３の4回累加）
　　計算の前提としての０
　　　加減乗の計算（演算）はすべて0を出発点としている。たとえば，演算としての（＋３）は
　　＜0＋（＋３）＞であり、演算としての（－３）は＜0＋（－３）＞である。このことは、数直線上
　　の数の位置とも符合することであり、
（＋１２）は、数直線上の基点０から（＋３）の４回累加の位置や（＋２）の６回累加の位置として定められたものである。（－１２）は、数直線上の基点０から（－３）の４回累加の位置や（－２）の６回　累加の位置として定められたものである事も同様である。
したがって、タイル表現では、（＋１２）や（－１２）は、たとえば次のように表現できる。
　　　（＋１２）＝　（０）＋（＋３）×（＋４）　　　　（－１２）＝　（０）＋（―３）×（＋４）
　　　　のタイル表現　　　　　　　　　　　　　　　　　　のタイル表現
　　　　　左の5列は0で、右4列は、（＋３）の　　　　　　左の5列は0で、右4列は、（－３）の　
　　　　　4回累加を表す　　　　　　　　　　　　　　　　　4回累減を表す
　　　　　
　　　　　

　タイル表現の0を用いて、（＋３）×（－４）を表現するには、　　　
　０（行および列の数がそれぞれ同一の白黒2段タイル）に
（－４）の３回累加分の黒タイルを置けばようから、右のよう
　になる。右４列が（－１２）を表す。
　タイル表現の0を用いて、（＋３）×（－４）を表現するには、　　　
　０（行および列の数がそれぞれ同一の白黒2段タイル）に
　（－４）の３回累加分の黒タイルを置けばようから、右のよう
　になる。　右４列が（－１２）を表す。
（負の数）×（負の数）
　　タイル表現の0を用いて、（－３）×（－４）を表現するには、　　　
　０（行および列の数がそれぞれ同一の白黒2段タイル）から
（－３）を４回累減すればようから、右のようになる。
　右４列が（＋１２）を表す。
　以上により、タイルを用いて　
　（負の数）×（負の数）=　(正の数) になることを視覚的に
　直感的に理解させることが出来るであろう。ただ、最後の結論
に到達するまでに順序を追っていかなければならないので、一貫し
た水道方式による指導の中で用いなければならない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＜九九の拡張で敷衍（ふえん）する方法＞
　負×負＝正を納得させる方法として、既に生徒が知っている正の数の九九を紹介いたします．
数学でよく使われる証明ではないところが，面白いかもしれません．
証明ではなく，納得なんです．
　①　考えさせるステップ１
まず，自然数の九九表を作らせる。これは何の問題もなく作れる。
　　　九九表を作ったら，それを負の数にまで拡張した表をつくり，０の段の数字を記入します．
しかし，負の数にかかわる欄は空白のままにしておきます．
　②　ここで，生徒に課題を与えます．
０の段よりも小さな数，つまり負の数の九九がどうなるかを調べさせる。．
０のところには壁があって，それより小さな数の九九は少し難しいかもしれない．
そうした困難にぶつかったときに，数学でよく使う手がある。
それは，今までわかっていることの中から法則を見つけ出し，その法則を頼りに新しい世界に一歩踏み出すんだ．
たとえば，２×（－１）を考えてみる．
２×　　５　＝１０
２×　　４　＝　８
２×　　３　＝　６
２×　　２　＝　４
２×　　１　＝　２
２×　　０　＝　０
２×（－１）＝　？

●斜めの法則
次に，斜めに並んだ数にも法則があるかを調べさせる。表の右上の１５から斜め左下の数字をたどっていくと
15，8，3， 0，-1，0，・・・になる。
この数の差を見ると、15，8，3， 0，-1，0，・・・（数列の第一階差）
さらに差を見ると、-7 -5 -3 -1 1 ....（数列の第二階差）
さらに2段目の数の差を見ると、2 2 2 2 ....
「差を２回取ると，いつも2になる．」ことを発見する。
他の斜めの欄も調べてみると，これがどんな法則なのかを発見させることは容易である。
　【補足】
もちろん，左上から右下にかけての法則も取り上げることができます．
こちらの方が未知の欄がなく，法則の全貌が見えます．
これを自分で発見してくれる生徒がいるかもしれません．
• 上から下に表を読むと，０の段では数が変化しない．
• 上から下に表を読むと，０の段より右では一定の差で数が小さくなる．
• 上から下に表を読むと，０の段より左では一定の差で数が大きくなる．
• 右上から左下へと表を斜めに見ると，数は一旦減ってから途中で増え始める．
しかし，その数の差をとり，さらにその差の差をとると，いつも一定の数になっている．
• 左上から右下へと表を斜めに見ると，数は一旦増えてから途中で減り始める．
しかし，その数の差をとり，さらにその差の差をとると，いつも一定の数になっている．
ここまでお膳立てをすれば，負×負＝正を自分たちの法則として見つけるのは容易なはずです．
そして，「負×負＝正」という法則を天下り的に教わるのではなく，自分たちで発見してしまったのですから，それを受け入れざるをえません．
つまり，「なんで負×負＝正になるか？」を納得できる。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＜形式不易の原理を用いた説明＞
ピーコック(1791-1858)，ハンケル(1839-1873)が数学，数学史の研究から指摘した。
「数を拡張するにあたっては，自然数で成り立つ計算法則
　　結合法則　( a + b ) + c = a + (b + c )
　　　　　　　　　(ab)c = a (bc)
　　交換法則　a + b = b + a
　　　　　　　　a b = b a
　　分配法則　a (b + c) = a b + a c
が，新しく拡張されたより広い範囲の数においても成り立つように数を構成する。」
　　分配法則を前提（形式不易の原理）
　　(-1) x {(+3) + (-2)} = (-1) x (+3) + (-1) x (-2)
左辺は，(-1) x (+1) = -1
右辺は，(-3) + (-1) x(-2)
従って，(-3) + (-1) x(-2)＝-1でなければならない．そのためには，(-1) x(-2) = +2でなければならない．
または，0 =(-1)x0 = (-1)x(1 + (-1) )=(-1)x1 + (-1)x(-1) =-1 +(-1)x(-1)
(-1)を左辺に移項して，1 = (-1)x(-1)
いづれにしても，形式不易の原理に従う。
　＜ベクトルのスカラー倍として図示による説明＞
(+1) x (+3)というかけ算の，初めの項をベクトル量，後の項をスカラー量とみなして，このかけ算を，「スカラー倍」の操作と捉えることができる．すなわち，(+1) x (+3)は，ベクトル(+1)を，それの矢印の向きに３倍したものと考えるのである．
　　　　　　　　　　　　　　+1
----->
　　　　　　　　　　　　　　(+1)x (+3)
----->----->----->
(+1) x (-3)は，ベクトル(+1)を，それの矢印の反対向きに３倍したものと考えるのである．
　　　　　(+1) x (-3)
<-----<-----<-----
これは，数直線で，負の数を作るときに行なっている考え方であり，(+1) x (-3)で，ベクトル(-3)ができるはずである．また，実際，(+1) x (-3) = (-3) x (+1) = (-3)となっている．
　初めのベクトルが負の数のときも，たとえば，(-2) x (＋3)は，ベクトル(-2)を，その矢印の向きに３倍したものとなり，-6が得られる．(-2) x (-3)は，ベクトル(-2)を，その矢印の反対向きに３倍したものとなり，+6が得られる．

＜　分配法則を前提（形式不易の原理）＞
(-1) x {(+3) + (-2)} = (-1) x (+3) + (-1) x (-2)
左辺は，(-1) x (+1) = -1
右辺は，(-3) + (-1) x(-2)
従って，(-3) + (-1) x(-2)＝-1でなければならない．そのためには，(-1) x(-2) = +2でなければならない．
または，0 =(-1)x0 = (-1)x(1 + (-1) )=(-1)x1 + (-1)x(-1) =-1 +(-1)x(-1)
(-1)を左辺に移項して，1 = (-1)x(-1)
いづれにしても，形式不易の原理に従う。
※形式不易の原理
ピーコック(1791-1858)，ハンケル(1839-1873)が数学，数学史の研究から指摘した。
「数を拡張するにあたっては，自然数で成り立つ計算法則
　　結合法則　( a + b ) + c = a + (b + c )
　　　　　　　　　(ab)c = a (bc)
　　交換法則　a + b = b + a
　　　　　　　　a b = b a
　　分配法則　a (b + c) = a b + a c
が，新しく拡張されたより広い範囲の数においても成り立つように数を構成する。」

言語的な説明
１＜移動の考え（東京書籍　１年）＞
東西にのびる一直線の道路を歩く場合をもとにする。東への移動を正の数で，西への移動を負の数で表すことにする。
毎分60mの速さで東向きに５分間歩くことにする。現在の位置から，現在より５分後には数直線上の図から東に300m移動する。すなわち，(+60)x(+5) = +300となる。
現在より５分前には数直線上の図から西に300m移動する。すなわち，(+60)x(-5) = -300。
今度は西へ向かって毎分60mの速さで歩くとする。これを毎分-60mの速さで歩くと考える。現在より５分後は数直線上の図から西へ300m移動する。すなわち，(-60)x(+5) = -300。
現在より５分前には数直線上の図から東へ300m移動する。すなわち，
(-60)x(-5) = +300の移動をする。
　２＜水槽を使って説明＞
　　　水槽があり、毎分２リットルの水を入れたり出したりすることを考える。
　　①　空状態から、１分間に２リットル水をいれていけば、５分後は何リットルになるかを考える。
　　　　　１分間に２リットルたまるのだから、５分後は０＋（＋２）×（＋５）だけ溜まる。　　　　　
　　　　　　つまり式にすると、０＋（＋２）×（＋５）＝１０　となる。
　　②　水槽に１０リットルに入っている。一分間に２リットルずつ流れ出る。５分後には水槽の中
　　　　にどれだけ水がはいっているか。
　　　　　一分間に２リットルずつ失っていくから、５分後は　１０＋（－２）×（＋５）だけ残る
　　　　　　つまり式にすると、１０＋（－２）×（＋５）＝０　となる。
　③　１分間に２リットル水賀入り、水槽に１０リットル水が溜まった。５分前にはどれだけ水が
　　　　あったのか。
　　　　　　　１０リットル水が入ってくる５分前の時間つまり（－５）分の状態を考えると
　　　　　　　５分前の水量は１０＋（＋２）×（－５）だけあった。
　　　　　　　つまり式にすると、１０＋（＋２）×（－５）＝０　となる。
　　④　１０リットル入っている水槽から水が１分間に２リットル流れ出る。
　　　　５分前の水量はどうだったか。
　　　　　　　５分後に２リットルずつ入って１０リットル溜まったのだから、
　　　　　　２リットルずつ流れ出る５分前は、０＋（－２）×（－５）だけ水があった。
　　　　　　　つまり式にすると　０＋（－２）×（－５）＝１０　となる。
　　　　　　　　　　これより、（－２）×（－５）＝１０
　　　最後の④の結果から、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）が説明できる。

　３＜お金の貸し借りで説明＞
Ａ君の財布の中は現在空です。
Ａ君は毎月お小遣い毎日１０円もらうことになっています。
そのお金を財布にためていくと、一週間後財布の中には何円になるでしょうか。
　　７日後　財布の中は（＋１０）円×（＋７）日で７０円になります。
このことを逆にたどると次のようになる。
　現在　　財布　からっぽ
　１日前　財布　10
　２日前　財布　10＋ 10
　３日前　財布　10 ＋10 ＋10
　　　　　・・・
　７日前　財布｜？？？？？？？
　　　７日後に対して、７日前は（）日で１週間前は（）円となるから、
　　　７日前には（－１０）×（－７）＝７０で７０円あったことになる。
＜推定させて答えを納得させる方法＞

４＜財産と負債の言葉で説明する方法＞
被乗数で扱う数量は，財産としよう．すると，乗数は，その財産の取得の回数としてよい．このとき，それぞれの場合の負の数についての意味は，正の数の意味の反対と考えて，次のように決めることができるだろう：
被乗数乗数
プラス財産取得する回数
マイナス負債放出する回数

そうすると，たとえば，（－５）×（－３）というのは，５億円の負債を三回手放したというように解釈することができる．これは，金銭的には，１５億円の財産を得たことと同じ効果がある．したがって，計算の結果は，（＋１５）であるべきだと納得できるだろう．
５＜負の数の掛け算＞
負の数の掛け算を考える前に、負の数そのものについてしっかりとした認識が必要である。
たとえば -1 という数は、「1 と足し算すると 0 になる数のこと」である。 -2 という数は、2 と足し算すると 0 になる数のことである。一般に -n という数は、n と足し算すると 0 になる数（ｎの逆元）のことである。
このことを踏まえて、(-1) × 1 を考えてみる。これは、「(-1)個の 1」であるから、上の定義に戻ると、(-1)個とは 1個と足し算すると0個になるような個数ということになる。
したがって、(-1) × 1 = -1。
負の数を負の数に掛ける
「(-1) × (-1)」は「(-1)個の -1」であって、その意味する所は、 1個の -1 と足し算すると0個の -1 になるような数だから、-1 と足し算すると 0 になる数、すなわち、1 である

言葉による説明の問題点
　５分前を（）と記したとき、５分後を（）と記したり、１０リットルの流入を（）（）と記すとき、１０リットルの流出を（）と記したりすることは、日常的にはほとんど目にふれることない。お金の貸し借りまたは金銭の表記については預金通帳などでもある程度日常的に使われたりしている。したがって、言葉による説明に数式を取り混ぜて説明しても、生徒によって理解度がことなっているのではないかという不安がのこります。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

１　負の数同士の乗法についてはいろいろと説明の仕方があるが，符号と演算記号を混同してしまったことから来る混乱も多い．たとえば，（＋２）×（＋３）は，算数の２×３と同じように考えて，「２を3回足す」というように解釈し加法を使って計算できる．では，（＋２）×（－３）はどうなるか？ある中学校の先生は，マイナス（－）がついているから，「２を3回引く」と解釈できるといった．すなわち，以下のように対応すると考えた：

　記号表現　　　　　　　　　　　記号内容

（＋２）×（＋３） ------------> 「２を3回足す」（２＋２＋２）
（＋２）×（－３） ------------> 「２を3回引く」

しかし，「２を3回引く」といったときに，何から「引く」のか？その先生によれば，「０から引く」と解釈して（０－２－２－２）としたが，「０」は始めの式に書いていないので，やや苦しい説明である．符号（－）と演算「引く」とは全く別のことなのになんとか結びつけようと苦心した結果，混同してしまったようである．

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＜－１倍するということは方向転換であると見る方法＞
『－１倍するということは方向転換するという意味』について、再び初等的な解説を考えてみたいと思います。
まず、自然数と自然数の掛け算については、足し算の応用として定義が用意されているものとします。
たとえば、３×５＝３＋３＋３＋３＋３＝１５となります。
また、5×３＝５＋５＋５＝１５とも言えますので、「３×５＝５×３」という交換則を見出すことができます。
　ここで０と負の数の概念を持ってきます。
数直線を用意し、『整数の加法』だけを『数直線状の移動』として用意します。
つまり、
「正の数を足す」というのは「数直線状に右に進む」ということであり、
「０を足す」というのは「静止したまま」ということであり、
「負の数を足す」というのは「数直線状に左に進む」ということです。
ここまでを認めてよければ先へ進むことができます。
（まだ負の数の減法は整備していません）

ここで(－１)×５を考えます。
これまでの話からすると、
(－１)×５＝(－１)＋(－１)＋(－１)＋(－１)＋(－１)＝－５
という計算が『足し算の応用としての掛け算』と『数直線状の移動』という２つの概念を用いて説明することができます。
つまり、「(－１)×５」とは「－１を５個足したもの」です。
さらに、自然数同士で成り立った話を持ち出してくると「５×(－１)＝(－１)×５＝－５」ということもできそうですが、左辺の『－１個足す』という作業が具体的に想像できないのでこのままでは上手くいきません。
つまり『数直線状の移動』において『－１をかける』という作用はどんな結果をもたらすかという問題が浮上するわけです。

さて、自然数までの話では「Ｍ×Ｎ＝Ｎ×Ｍ」という交換則は成り立っていました。
ここで０や負の数は『数直線状の移動』という概念を導入することで、自然数からの自然な拡張として扱われています。
『数直線状の移動』という視点から見れば、０や負の数をことさら特別扱いして自然数だけをスタンダードとして扱う理由が見当たりません。
ですから、「Ｍ×Ｎ＝Ｎ×Ｍ」という交換則についても特別扱いすることなく、０や負の数を含んだ場合でも自然に成り立つとみなすのがフェアな扱い方ではないでしょうか。
その場合、５×(－１)＝(－１)×５＝－５という結果が得られ、
「５に－１をかけたらー５になった」と見れば、５はー５へ移動したことになります。
同様に
(－１)×Ｎを考えていけば「Ｎに－１をかけたらーＮになった」と見ることができます。
これらの話から一般性を見出そうとすれば
『－１倍するということは方向転換するという意味』という解釈が取り出せて、
『（－１）×（－１）＝＋１なのは方向転換が２回でモトに戻って，＋となった。』という説明が復活する。
　最初のー１を数としてしか受け取らない場合は『－１（数）に対して－１（操作：方向転換）したから、＋となった』とする解釈のほうが説得力がありますが、だからと言って『方向転換が２回』の正当性もさほど損なわれないと考えます。
　なぜかというと、演算における「数」と「操作」の意味合いは常にフレキシブルだからです。「Ｎ＋Ｍ」「Ｎ×Ｍ」の場合、一見Ｎは固定された「数」にしか見えませんが、数学には『省略』というマナーがあることを思い出せば違った解釈も可能になります。
つまり、Ｎの前には「０＋」や「１×」といった式が省略されているのかも知れず、そのように受け取ればＮは０や１に対して施された「操作」としても解釈できるのです。
ですから、『Ｎは数であって操作ではない』と一概に断ずることはできません。
『（－１）×（－１）＝＋１』に関しては『×(－１)×(－１)＝×(＋１)』という読み取り方をすれば、『方向転換が２回』の正当性もあると考えられます。

参考：ちなみにこの流動性についての問題は、数式の移項を覚え始める中学生にとって
ハ　ードルとなることもあります。
たとえば「２ａー５＝ａ」を移項させて方程式を解きたい場合、２ａとａは数でありー５は操作でしかないという固定概念があればそれは邪魔になります。
まず移項を始めるためには「ａという数」を、「＋ａという操作」として読み替える必要があります。
その上で、「＋ａという操作」と「－５という操作」をひっくり返して「２ａーａ＝＋５」という式が出来上がります。
そのうえで「ａ＝＋５」という結論を導き出せるのですが、初学者の場合「＋５という操作」と「５という数」の流動性が上手く認識できないために、「ａ＝５」という形の解答にはならないこともままあります。
別に答えとして間違っているわけではありませんが、中学３年生になっても以降の計算が怪しい生徒の場合、このあたりの混乱が習得の妨げになっていることも多いですね。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
参考１　代数的な裏付け
　自然数ｎに対して加法に関する逆元（負の整数）が存在し、負の整数に対しても結合法則・分配法則等が成り立つように加法ならびに乗法を定義すると、整数は加法に対して可換な群（アーベル群）をなす。また、乗法に関して可換なモノイド＜写像（S×S→S）が存在し，乗法に関する単位元が存在し、乗法に関して分配法則が成り立つ集合＞をなす。つまり、整数は可換環である。この辺のことについては他書に譲ることにしますが、要するに、平易に言えば、整数は、普通の足し算・引き算・掛け算が出来る数である。整数が環であることを用いると、
　　　　整数に対して　　が証明できる。
　＜がの逆元として一意的に定まること＞
　　とがの逆元であるとすると、
　　
　　したがって、となり逆元は一意的に定まる。
　　これにより、　であることが示される。
　　さらに、
　　同様に　　についてもいえる。
　　　以上により、
　　　よって、
　　　これを用いると
　　　　　　　
　　　　したがって、
おわりに
　普段人々が様々な場面で用いている数字というものは、実は非常に不思議なものであると思います。
　なぜならば、我々が実際にお目にかかるものは、1個りんご、3個のみかんという場合や、5人の生徒
　３５００人の観衆という数字の次に名詞がくる形の数字であって、１や３や５や２５００というもの
　は実際には存在しないものだからです。つまり、個数や人数や台数を数えるとか記録するために作られたものが数字であり、その原型は人間が出現した時代から存在したものであったことは知られています。したがって、中学1年生がはじめて習うマイナスの数字は、実際にはお目にかかることの出来ない
　いわば認識論上の人工的構築物であって、大人が考えるほど簡単に了解できるものではないことが分かります。10円借りる場合その負債を（－１０円）と表記することは約束ごとであり、（－10円）という実体があるわけではないし、ある基点から東に時速30ｋｍで走る自動車が西に時速30ｋｍで走る場合のスピードを（－３０ｋｍ）と書くことにする場合でも、子供にとっては、マイナスの速度が実感を持って理解されることはないであろう。したがって、プラスの数字でら大変に抽象的なものであるので、ましてや、マイナスの数字にはじめて触れるということなどは算数数学のうえでの大変な“カルチュアショック”であるに違いありません。ましてや、「マイナスの数字とマイナスの数字の積がプラスになる」などということは大変に難しいことであるはずです。本当にこのことを数学的に証明しようとすれば、「群」「環」「体」の話しが必要になり、四則演算の定義から果ては「ペアノの公理」まで遡らないといけません。そんな深い背景がある事柄なのですが、中学1年の教科書では、このことについてそれほど紙数を費やしているわけではありません。学問的に教えることが小学生や中学生の教育でない限り、そのことは当然なことで、最も簡単で苦労しない教え方は、「負の数」と「負の数」の掛け算の答えは「符号を考えずに数字の部分をかければ良いのです。」と教えて、ひたすら（―３）×（－５）＝３０というような計算を大量に練習させれることです。しかし、その子供が後になって、なぜ（―３）×（－５）＝３０ですかとまじめに聞かれたときには答えることが出来ません。別に答えられなくても困ることも
まず起きません。ただ、後になって、認識レベルの高い人は「なぜだろう」ということを折に触れて考えるでしょう。そして、そのような人は教科書より少し難しいことを扱った書物を自分で見て調べる能力がありますから、これまた何の問題も生じません。数学は段階を追って理解していく勉強である
などといわれますが、実用上はその段階を省略して便利な式をどんどん使っています。
たとえば、円の面積計算ではパイが使われますが、実用上はパイの深い意味は知らなくても、パイの値
が大体３．１４であることを知っていれば面積の公式を“使う”ことはできます。
　人間の認識のレベルには何段階もあって、知識獲得の初期段階では、「納得」「了解」のレベルであり
厳密な段階に進むにつれて「厳密な証明」まで様々な段階があります。認識の発達段階については、ピアジェの学説があまりにも有名ですが、数学的な事柄の指導でも
たぶんに対象とする生徒の認識レベルに合わせた指導にならざるを得ません。
　
参照文献
　地曳善敬「計算法則の指導」（「数学教育」NO,569明治図書2005 ４月号所収）

この記事に対してトラックバックを送信する（FC2ブログユーザー）: http://kuzuhadai.blog110.fc2.com/tb.php/2-9f403bbe

Entries

スポンサーサイト

件のトラックバック

件のコメント

コメントの投稿

最近知ったこと

0件のトラックバック

0件のコメント

コメントの投稿

Appendix

プロフィール

最近の記事

最近のコメント

最近のトラックバック

月別アーカイブ

カテゴリー

ブロとも申請フォーム

ブログ内検索

RSSフィード

リンク

By FC2ブログ